四次询问可以做 $2^{457}$，五次可以做 $2^{825627}$。
如果同时知道 $x\bmod y$ 的值和 $\lfloor x/(y-1)\rfloor$ 的值，就可以唯一确定 $x$。这是因为 $k(y-1),k(y-1)+1,\cdots,k(y-1)+y-2$ 这 $y-1$ 个数 $\bmod y$ 两两不同。
进一步考虑，如果知道了 $x\bmod y$，可以询问 $y-1$。如果知道了 $\lfloor x/(y-1)\rfloor$，按照上述考虑可以猜出 $x$；否则由于 $(y,y-1)=1$，可以 CRT 出 $x\bmod (y^2-y)$。如果事先知道了 $\lfloor x/(y^2-y-1)\rfloor$，此时就可以求出 $x$ 的值。
因此，同时知道 $x\bmod y$ 和 $\lfloor x/(y^2-y-1)\rfloor$，只需要一次询问就确定 $x$。
继续增加询问次数，当我们知道 $x\bmod y$，可以询问 $y^2-y-1$。
- 如果获得 $\lfloor x/(y^2-y-1)\rfloor$，递归到一步解决问题的 case。
- 否则获得 $x\bmod (y^2-y-1)$，根据 $(y,y^2-y-1)=(y,-1)=1$，可以 CRT 出 $x\bmod (y^3-y^2-y)$。此时如果事先知道了 $(y^3-y^2-y)^2-(y^3-y^2-y)-1$，又递归到了一个关于 $y^3-y^2-y$ 的一步解决 case。故若知道 $x\bmod y$ 和 $\lfloor x/((y^3-y^2-y)^2-(y^3-y^2-y)-1)\rfloor$，可以花费两步询问确定 $x$。
一般地，记知道 $x\bmod y_1$ 和 $\lfloor x/y_2\rfloor$ 是状态 $(y_1,y_2)$，那么在 $(y_1,y_3)$ 可以询问 $y_2$，分别递归到 $(y_1,y_2)$ 和 $(y_1y_2,y_3)$。若 $y_2=f(y_1)$，则 $y_3=f(y_1f(y_1))$。 CRT 要求 $y_1$ 和 $f(y_1)$ 互质。
可以写出如下函数列：
$$f_k(y)=\begin{cases} y-1 & k=0\\ f_{k-1}(yf_{k-1}(y)) & k>0\end{cases}$$
若事先已知 $x\bmod y$ 和 $\lfloor x/f_k(y)\rfloor$ 可以花费 $k$ 次询问确定 $x$ 的值。当 $f_k(y)$ 充分大时，后者总是 $0$。
$\gcd(f_0(y),y)=1$。
若 $\gcd(f_k-1(t),t)=1$，$\gcd(f_k(y),y)\le\gcd(f_{k-1}({\color{orange}{yf_{k-1}(y)}}),{\color{orange}{yf_{k-1}(y)}})=1$，自然 $\gcd(f_{k}(y),y)=1$。
于是归纳地证明了 CRT 总是可以跑满的 。
这部分讲一个很蠢但是足以应对原题的办法。考虑到 __int128 存储能力十分有限，实现的是这一做法。
当 $k=3$ 时，$f_k(6)=34704695273844026809552342149101>2^{104}$，总有 $\lfloor x/f_k(y)\rfloor=0$，只要第一次询问 $6$，就可以在获知 $x\bmod 6$ 的情况下三步解决问题。
如果得到了 $\lfloor x/6\rfloor$，讨论其大于等于 $1$ 和小于 $1$ 两种情况。
若大于等于 $1$，如 $6,7,8,9,10,11$，每次询问序列中位数（长度为偶数偏大选取，例如此时选取 $9$），如果是 $\bmod$ 由于序列充分大，对于两个序列中的元素 $x_1>x_2$，总有 $x_1\bmod x_2=x_1-x_2$（这是因为 $x_1-x_2\le 5$），可以直接确定答案；否则是 $/$，若商 $=1$，保留 $\ge$ 中位数的半部分；否则保留剩余半部分。一定可以在三次之内完成二分。
若小于 $1$，先选 $2$，无论得到了 $\lfloor x/2\rfloor$ 还是 $x\bmod 2$，都一定剩余不超过三个数合法，用上述方法每次询问剩余最大值判断是否是最大值即可。（若是，则除以最大值商是 $1$ 或余数是 $0$，否则不是）
接下来讲一个有道理多的做法。
如果知道了 $\lfloor x/4\rfloor$，可以按照类似上面的做法分类讨论，两次求出 $x$。（商为正就二分，为零就每次校验最大值）
$f_2(4)=1891$，于是第一次询问 $1891$。
- 如果知道了商，询问 $4$。
- 如果知道了余数，由于 $f_2(4)=1891$，可以在两次询问内求出 $x$。
- 如果知道了商，可以使用上述分讨。
- 如果知道了余数，并且 $x< f_3(1891)$，总有 $\lfloor x/f_3(1891)\rfloor=0$，可以在三次询问内求出 $x$。
于是 $4$ 次询问可以唯一确定一个小于 $f_3(1891)$ 的数（不知道能不能等于，感觉可以）。
$f_3(1891)=415227450555796293146383291752971533859282507656109175383886974071032638222595493173269375507830453856010225014151559968406603964178128401$，这略大于 $2^{457}$ 或 $4.15\times 10^{137}$，远超出原题要求。
暂不清楚是否存在更好的做法。
对于此做法，确定一个不超过 $V$ 的数需要的询问次数大约是 $\log\log\log V$。这是由于 $f_k(x)$ 中 $x$ 的指数每嵌套一层就要平方一次，其关于 $k$ 是双指数增长，所以 $f_k(x)$ 关于 $k$ 是三指数增长。
$k$ 次询问可以确定的确切值域是 $f_k(f_{k-1}(\cdots f_4(f_3(4))))$。
这样的多层嵌套基于三指数会给 $k$ 带来约 $1$ 的常数变化而不会改变三指数的本质。
