正难则反，考虑计数贪心错误的情况，可以发现在 $w_i \leq 2$ 的前提下，有且仅有两种情况：

1. 在剩余金钱 $m=2$ 时，先购买了一个 $w_i=1$ 的物品 $a_i$，导致没能购买另一个 $w_j=2$ 的物品 $a_j$。其中需要满足 $a_j > a_i$。
2. 在剩余金钱 $m=2$ 时，先购买了一个 $w_i=1$ 的物品 $a_i$，导致没能购买另一个 $w_j=2$ 的物品 $a_j$，但再之后又购买了一个 $w_k = 1$ 的物品 $a_k$。其中需要满足 $a_j > a_i + a_k$。

其中情况 $1$ 可以看作情况 $2$ 的子情况。

满足条件的 $a_j$ 可能有多个，其中我们只考虑 $a_j$ 最大的一个，如果 $a_j$ 相同则只考虑 $j$ 最小的一个。为方便，下面假设 $(a_i, i) > (a_j,j)$ 当且仅当 $a_i > a_j$ 或者 $a_i = a_j \land i < j$。

考虑枚举 $i,j$ 满足 $a_j < 2 a_i$ 并钦定 $w_i=1,w_j=2$，计算在剩余的 $2^{n-2}$ 种 $w_i$ 安排方案中能够发生贪心错误的数量。对另外的物品 $a_k$ 进行分类讨论：

• $(a_j, j) < (a_k, k) $：此时 $w_x$ 取任意值都会被选取。其贡献写成生成函数为 $G_k(x)=x^2+x=x(x+1)$。
• $(a_i, i) < (a_k, k) < (a_j, j)$：此时 $w_x =1$ 时会被选取，$w_x=2$ 时则因为性价比低于 $a_j$ 不会被考虑。其贡献写成生成函数为 $G_k(x)=x+1$。
• $(a_j - a_i, n + 1) < (a_k, k) < (a_i, i)$：此时 $w_x=1$ 时会导致 $a_i + a_k \ge a_j$ 使得贪心正确，$w_x = 2$ 时则不会被选取。其贡献写成生成函数为 $G_k(x)=1$。
• $(a_k,k) < (a_j - a_i, n + 1)$：此时 $w_x$ 取任意值都不会被选取。其贡献写成生成函数为 $G_k(x)=2$。

令 $F(x)=\prod_k G_k(x)$。因为我们要在扫描到 $i$ 时恰好 $m=2$，因此方案数应该为 $[x^{m-2}]F(x)$。不难发现 $F(x)$ 可以写成 $2^c x^p (x+1)^q$ 的形式，方案数即为： $$ \binom{q}{m-2-p} \cdot 2^c $$。

故我们枚举 $i,j$，并利用双指针扫描线实时更新 $c,p,q$ 的值。总时间复杂度 $O(n^2)$。