当 $t=1$ 时，我们可以构造一个只产生 $\tt H$ 的分布，然后如果字符串是 $\tt T$ 就认为是均匀分布，否则不是。这样的做法有 $\frac{3}{4}$ 的正确率，是满足要求的。

当 $t= 3$ 时，$t$-close 对概率误差的限制缩小到了 $\frac{3}{8}$，这时如果我们仍然令 $n=t$，其中 $3$ 个字符串不会产生，剩下的均匀分布，是达不到预期的正确率的。事实上，如果我们事先决定好要询问的下标，则策略一定形如当 $S$ 属于某个集合 $T$ 时认为是均匀分布，否则是我们构造的分布，而根据 $t$-close 的定义，我们的正确率不可能高于 $\frac{1+2^{-t}t}{2}$。也就是说，我们的策略必须依赖已经询问得到的结果。

以下我们都考虑 $01$ 串而不是 $\tt HT$ 串。沿用 $t=1$ 的思路，我们希望在我们构造的分布中保证正确，而在均匀分布中达到 $\frac12$ 的正确率。如果不要求 $t$-close，只需要让 $t$ 个字符不独立，例如要求其中有偶数个 $1$。这可以看成先随机 $(t-1)$ 位，再直接让最后一位是 $0$ 或者 $1$。现在有这个限制，我们可以依赖之前的 $(t-1)$ 位来决定后面的某一位。具体的，令 $n=(t-1)+2^{t-1}$，我们先均匀随机 $(t-1)$ 位，这些位组成了 $2^{t-1}$ 位的二进制数 $x$，我们要求后面的第 $x$ 位必须为 $1$，其余位均匀随机。查询时同样先询问前 $(t-1)$ 位，再查对应的位是否为 $1$ 即可。接下来只需要证明这样构造的分布是 $t$-close 的。

证明：设生成的字符串 $s$ 前 $(t-1)$ 位为 $x$，则 $s$ 的第 $(t-1)+x$ 位必然为 $1$，我们将这一位设为 $0$ 得到字符串 $\bar s$，则 $s$ 和 $\bar s$ 两两匹配。因为 $p_s+p_{\bar s}=\frac{2}{2^n}$，和均匀分布一样，所以如果选择的下标 $i_1,\ldots,i_t$ 不包含 $(t-1)+x$，则这一对 $s$ 和 $\bar s$ 不会造成 $s_{i_1}\cdots s_{i_t}$ 在均匀分布和我们构造的分布中概率的区别；而如果下标包含 $(t-1)+x$，则当 $s_{i_1}\cdots s_{i_t}\in T$ 而 $\bar s_{i_1}\cdots\bar s_{i_t}\notin T$ 时会导致概率比均匀分布大 $\frac{1}{2^n}$。对每个 $x\in[0,2^{t-1})$，有 $2^{n-t}$ 对这样的 $s$ 和 $\bar s$，最多有 $t$ 个下标，因此概率至多差 $\frac{1}{2^n}\cdot 2^{n-t}\cdot t=2^{-t}t$。