转 $45$ 度分析，就明显一些（？

首先要想到怎么刻画贪心合并出来的子树形态：考虑从下往上做，上传 $f_{u,i}$ 表示 $u$ 子树高度在 $i$ 位置时的最小宽度。即子树 $T$，定义其宽度序列 $seq(T) = \{l_0, l_1, ..., l_k\}$ 来描述这个子树高度为 $i$ 时宽度为 $l_i$。一个必要条件是，合法的宽度序列 $l$ 必须满足对所有 $i > 0$，有 $l_i \geq l_{i-1} - 1$。

有 $seq(leaf) = \{0\}$。假设某个节点 $u$ 有两个子节点 $v_L$ 和 $v_R$，它们的宽度序列分别为 $P$ 和 $Q$。设 $u$ 到 $v_L,v_R$ 的边下界长度为 $c_L,c_R$，则在 $P$ 和 $Q$ 的后面分别加 $c_L-1,c_R-1$ 个 $0$，得到新的宽度序列。

考虑所有叶子有相同的 $x+y$，在 $u$ 的子树中，高度 $i$ 的宽度至少为 $P_i + Q_i + 1$。将合并后的序列 $S$ 计算成 $S_i = P_i + Q_i + 1$，再从前往后执行 $chkmax(S_i,S_{i-1}-1)$ 的操作，最终再追加一个 $0$ 表示 $u$。

缩颜色段后启发式合并即可做到 $\mathcal O(n\log^2n)$ 的复杂度。