由于数值之间等价，所以一个 trivial 的想法是 $n=60$ 时可以直接记录前缀 $a$ 形成的出现次数的可重集，状态数由分拆数分析，复杂度 $O(np(n))$。在 $n=100$ 时总状态数是 $2\times10^9$ 以上的，无法接受。

优化 1：只关心众数的种类数，所以将状态变为，记录每个数值出现次数距离出现次数最大值的差构成的可重集 $S$，以及最大值的出现次数 $c$，状态为 $(c,S)$，可以对一些等价状态进行合并，但量级仍然没有下降。

优化 2：设还有 $rem$ 个数没有填，那么若 $x>rem,x\in S$ 说明 $x$ 对应的数值不可能成为众数，可以直接从 $S$ 中删除。这个优化十分有限，写个 dp 计算状态数大概是 $2\times10^8$ 左右，无法接受。

优化 3：如果 $x=rem$，那么也可以从 $S$ 中删除，算的几乎是对的。但是 $x$ 仍然可能成为众数，所以这里需要一步小的容斥：从 $S$ 中删除就是让计算序列 $b$ 时忽略 $x$ 的影响，但是会算错 $x$ 在最后一步成为众数的情况，用容斥修，则最后一步的修正形如 $(w_{n,c+1}-w_{n,c})$。

这就引出一个子问题，可以在统计众数时钦定一些元素没有贡献。猜测最终拆分数大概需要一个对 $n$ 的折半，而 $p(50)$ 是 $2\times10^5$ 级别，这就不能只限制一个元素 $\leq rem$，考虑往一个集合的和 $\leq rem$ 编。

虽然优化 3 对优化 2 本身优化不大，但是这个 corner case 的优化提示我们用容斥处理限制。一个形式是对 $([统计b算i]-[统计b不算i])$ 相乘的组合意义拆开。如果选算众数时不考虑这个数，会带 $-1$ 的系数。那么有 $[算i]=[不算i]$ 的情况就直接消除。对于一个集合 $S$，考虑算这个式子，如果 $\sum S>rem$，那么一定有一个数不会被翻成众数，就直接没有贡献了。

这两个方向就是说用容斥算新的子问题的答案，但是加起来的贡献仍然是原问题。形式化地写一下，设 $F(S)$ 为统计众数中只考虑可重集 $S$ 的贡献，那上述过程实质上是 $G(S)=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|S|-|T|}F(T),F(S)=\sum_{T\subseteq S}G(T)$。而 $\sum S>rem$ 时 $G(S)=0$。原来（优化 0,1,2,3）统计的是 $F$，现在统计的是 $G$。考虑 $F(A)\to F(B)$ 的贡献系数，则 $A\subset B$ 时贡献 $0$，否则 $A=B$ 时贡献 $1$，所以如此转化成 $G$ 后只会留下 $F(S)$。或者可以直接理解成 $\prod([b不算i]+([b算i]-[b不算i]))$ 拆掉括号。

优化 4：dp 状态变为考虑 $G(S)$，$S$ 外的数都是不影响众数统计的，则状态数限制 $\sum S_i\leq rem$，有一个类似于 $\min(t,n-t)$ 的限制，这时总状态数是 $10^7$ 的。转移精细实现一下，枚举所有可能的 $S$ 并且用多进制状物存状态即可通过。

总复杂度 $O(p(\frac n2)poly(n))$。