显然当且仅当 $a|A,b|B,c|C$ 时存在答案。
设 $n=\dfrac{A}{a},m=\dfrac{B}{b},p=\dfrac{C}{c}$。
先考虑二维的情况，其一定能被横向切割或纵向切割，容斥一下
$$f(n,m,a,b)=ab^n+ba^m-ab$$
考虑三维，进行分类讨论。若其能被至少一个正交平面切割，容斥贡献
$$ans=af(m,p,b,c)^n+bf(p,n,c,a)^m+cf(n,m,a,b)^p-abc^{nm}-bca^{mp}-cab^{pn}+abc$$
若其不能被任何一个正交平面切割，则其一定为三个方向的一些正交直线平移错开得到。
考虑一个子问题，有一个 $n\times m$ 的平面，每个点能填上 $[0,k-1]$ 之间的数，要求不存在全 $0$ 横纵位置。
考虑 DP 求解。
$$(k^j-1)^i=\sum_{t=1}^{j}\binom{j}{t}f_{k,i,t}$$
$$f_{k,i,j}=(k^j-1)^i-\sum_{t=1}^{j-1}\binom{j}{t}f_{k,i,t}$$
原问题则为在三维上各进行一次填数，贡献为
$$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\sum_{k=1}^{m-j}\sum_{l=1}^{p}\binom{n}{i}\binom{m}{j}\binom{m-j}{k}\binom{p}{l}f_{c,i,j}f_{a,k,l}(b^{(n-i)(p-l)}-1)$$
时间复杂度为 $O(n^4\log n)$ 或 $O(n^4)$，可以通过。
考虑进一步优化，发现 $\sum_{k=1}^{m-j}\binom{m-j}{k}f_{a,k,l}=(a^{m-j}-1)^{l}$，则时间复杂度优化到 $O(n^3)$。