首先考虑如果是链上而不是环上，那限制就等价于所有线过了同一点，很好处理。直接断环，最终方案所有跨过 $n$ 到 $1$ 的之间一定互相有交，没有被断开的一定过同一点。

把没有被断开的称为 A 类，被断开的称为 B 类。那么直接枚举最终没有被断开的线段相交的点（可先离散化），限制就是 $\forall_{i\in A,j\in B} l_j\ge l_i \lor r_j\le r_i$（被断开也不妨令 $l_i\le r_i$，即将靠左的端点称为 $l_i$）。

把 $(l_i,r_i)$ 拍到平面直角坐标系中，对于 A 类点 $i$，不存在 B 类点 $j$ 满足 $l_j\lt l_i \land r_j\gt r_i$，即不存在 B 类点在其左上方。

从前往后 dp，记录 $dp_{i,j}$ 表示考虑了 $l_p\ge i$ 的所有 $p$ 选择的 A 类点的最小 $r$ 为 $j$，转移考虑转到一个 $r$ 更小的 A 类点或者不动，然后获得其上方 A 类点数加下方 B 类点数的贡献。

容易线段树优化做到单次 $O(n\log{n})$，加上枚举相交点的复杂度为 $O(n^2\log{n})$。