首先转化题意，先计算出错排，那么问题变为 $\forall i,(p_i\ne i)\land(p_i \ne n-i+1)$ 的方案数。
将每对 $(i,n-i+1)$ 放在一起考虑，那么容斥无非就是钦定若干个位置满足了某个条件。发现一对这样的位置，钦定一个有 $4$ 种方案，钦定两个有 $2$ 种方案。
那么 - 若 $n=2k$，则答案为 $\sum_{n\ge 0} n! [x^n] (x^2-4z+2)^k$。
- 若 $n=2k+1$，则答案为 $\sum_{n\ge 0} n! [x^n] (x^2-4z+2)^k(x-1)$。

根据欧拉积分 $$ \int_0^{\infty} x^n \mathrm e^{-x} \,\mathrm d x = n! $$

考虑设出 $$ \begin{aligned} I_n &= \int_0^{\infty} (x^2-4x+2)^n \mathrm e^{-x} \,\mathrm d x \\ J_n &= \int_0^{\infty} x(x^2-4x+2)^n \mathrm e^{-x} \,\mathrm d x \end{aligned} $$

考虑用分部积分转化出递推式 $$ \begin{aligned} I_n &= \int_0^{\infty} (x^2-4x+2)^n \mathrm e^{-x} \,\mathrm d x \\ &= -\int_0^{\infty} (x^2-4x+2)^n (-\mathrm e^{-x}\,\mathrm dx) \\ &= -\int_0^{\infty} (x^2-4x+2)^n \,\mathrm d(\mathrm e^{-x}) \\ &= -\left.(x^2-4x+2)^n\mathrm e^{-x}\right|_0^{\infty} + \int_0^{\infty} \mathrm e^{-x} \,\mathrm d\left[(x^2-4x+2)^n\right] \\ &= 2^n + \int_0^{\infty} \left[(x^2-4x+2)^n\right]'\mathrm e^{-x} \,\mathrm dx \\ &= 2^n + \int_0^{\infty} n(x^2-4x+2)^{n-1}(2x-4) \mathrm e^{-x} \,\mathrm dx \\ &= 2^n - 4n I_{n-1} + 2n J_{n-1} \\ J_n &= \int_0^{\infty} x(x^2-4x+2)^n \mathrm e^{-x} \,\mathrm d x \\ &= -\int_0^{\infty} x(x^2-4x+2)^n (-\mathrm e^{-x}\,\mathrm dx) \\ &= -\int_0^{\infty} x(x^2-4x+2)^n \,\mathrm d(\mathrm e^{-x}) \\ &= -\left.x(x^2-4x+2)^n\mathrm e^{-x}\right|_0^{\infty} + \int_0^{\infty} \mathrm e^{-x} \,\mathrm d\left[x(x^2-4x+2)^n\right] \\ &= \int_0^{\infty} \left[x(x^2-4x+2)^n\right]' \mathrm e^{-x} \,\mathrm d x \\ &= \int_0^{\infty} \left[(x^2-4x+2)^n+nx(x^2-4x+2)^{n-1}(2x-4)\right] \mathrm e^{-x} \,\mathrm d x \\ &= \int_0^{\infty} \left[(x^2-4x+2)^n+2n(x^2-4x+2)^{n-1}(x^2-2x)\right] \mathrm e^{-x} \,\mathrm d x \\ &= \int_0^{\infty} \left[(x^2-4x+2)^n+2n(x^2-4x+2)^{n-1}[(x^2-4x+2)+2x-2]\right] \mathrm e^{-x} \,\mathrm d x \\ &= I_n + 2n I_n + 4n J_{n-1} - 4n I_{n-1} \\ &= (2n+1) I_n - 4n I_{n-1} + 4n J_{n-1} \end{aligned} $$