性质 $B$（答案唯一）：随机问 $x$ 之后取出现次数为 $2$ 的随机问，不断缩直到集合为 $\{1,1,x,x\}$。每次期望小一半因此是 $O(\log n)$ 次。这个性质说明，整个题不存在可以接受的确定性做法，需要随机化。

性质 $C$（$T_1,T_2$ 存在公共拓扑序）：在性质 $B$ 的基础上不断先随机出现 $2$ 次的为 $x$ 直到只剩下这一个 $x$ 出现两次，此时 $x$ 向上到根路径的集合不交。如果是空集直接返回 $x$，否则在这个集合 $S$ 中不断随机 $x$，问出 $x$ 的集合 $Q(x)$ 后将 $Q(x)-\{x\}$ 与 $S$ 取交得到 $S'$。若 $S'=\varnothing$ 则返回 $x$。否则 $S\to S'$，若 $|S|=1$ 则返回唯一的 $x\in S$ 即可，每次至少缩掉双链其中一条的一半，总次数期望 $O(\log n)$。

进一步的询问不只能依赖 $Q(1,x)$，需要询问到更多的点。考虑当前 $x\to 1$ 的路径并上有多个出现次数为 $2$ 的点，随一个点 $y$ 然后问 $Q(x,y)$，那么 $y$ 形成一个路径割点的作用，这些 $Q(x,y)$ 中的点一定不可能在路径上，删掉后 $x\to y$ 递归直到只剩下一个出现 $2$ 次的，设其为 $t$，这里的缩的过程每次期望删一半，类似于性质 $C$ 的第一部分。

现在的结构是 $t\to 1$ 的双链（$T_1,T_2$ 各一个），剩下出现次数为 $1$ 的点集为 $S$，初始为 $U$。维护答案的备选点集 $S$。在 $S$ 中随机一个 $x$，不妨设 $x\in T_1$。考虑询问 $L=Q(x,t),R=Q(x,1)$，结构就形如找到 $T_2$ 上 $t\to1$ 路径针对 $x$ 的投影点 $y$。那么 $x\to y$ 的路径一定是包含进 $L,R$ 的。将 $L,R$ 对 $U$ 取交为 $L',R'$，不在 $U$ 上的可以认为是合并成一条路径，则 $L=T_2(x\to y)+T_2(y\to t)+T_1(x\to t),R=T_2(x\to y)+T_2(y\to 1)+T_1(x\to 1)$。

考虑 $L'+R'-U$ 这个点集就可以求出 $T_2((x\to y)\cap U)=C$。那么令 $S\to S\cap(R-C)$ 就可以保留 $T_1(x\to 1)+T_2(y\to 1)$。这样在 $T_1$ 上就完成了缩成 $(x\to 1)$ 的工作，重复执行直到 $|S|=1$ 或者充分多轮的 $|S|=2$，回答 $x\in S$ 作为答案即可。

总询问次数 $O(\log n)$。每轮需要执行 $2$ 次 query，最终期望轮数 $O(\log n)$，有两个部分所以期望很松的上界是 $4\log n$ 的。