对于 $n\lt m$ 的情况，显然无解。下文认为 $n\ge m$。

我们先选 $m$ 个位置固定，方案数为 $\binom{n}{m}$。剩下 $(n-m)$ 个位置，显然这一部分就是错排列问题：

求长为 $n$ 的排列 $p$ 中，对 $\forall i$ 都有 $p_i\neq i$ 的方案数。

不好直接算，考虑容斥。答案就是全部方案数减去至少在一个位置有 $p_i=i$ 的方案数。

后一部分还得容斥（因为会算重）。所以错排列问题的答案就是如下式子：

$$\sum_{i=0}^n (-1)^i\binom{n}{i}(n-i)!$$

把 $\binom{n}{i}$ 展开，尝试化简：

$$\sum_{i=0}^n (-1)^i\frac{n!}{i!(n-i)!}(n-i)!$$

高兴地把 $(n-i)!$ 约掉，把与 $i$ 无关的 $n!$ 提到外面去：

$$n\times\sum_{i=0}^n (-1)^i\times\frac{1}{i!}$$

后面的式子直接在预处理 $n!$ 及其逆元时跑前缀和就可以了。

所以最终的答案就是：

$$\binom{n}{m}\times (n-m)!\times \sum_{i=0}^{n-m}(-1)^i\times\frac{1}{i!}$$

时间复杂度 $O(n_{\max}+T)$。

注意负数取模。