首先考虑 $m$ 为偶数的情况。显然对于任意一个合法集合 $S$ 都存在至少一个 $u$ 满足 $\forall x\in S,dis(u,x)\le\dfrac{m}{2}$。

此时的一个显然想法就是直接对每个 $u$ 求出 $a_u$ 表示与 $u$ 距离不超过 $\dfrac{m}{2}$ 的点数，然后对于每个 $i$ 求 $ans_i=\sum\limits_u\dbinom{a_u}{i}$。

但这样算显然不对，某些 $S$ 会被重复计算。

我们发现对于每一个 $S$，将它计入答案的 $u$ 一定是树上的一个连通块。而这启发我们可以用经典的 $|V|-|E|=1$ 进行处理。

考虑这个连通块中每一条边 $e$，那么它一定满足 $\forall x\in S,dis(x,e)\le\dfrac{m}{2}-1$。其中 $dis(x,e)$ 表示 $x$ 与 $e$ 的两个端点的距离的较小值。可以证明这是充要条件。

因此我们对每条边 $e$ 求出 $b_e$ 表示与它距离不超过 $\dfrac{m}{2}-1$ 的点数。

答案即为：$ans_i=\sum\limits_u\dbinom{a_u}{i}-\sum\limits_e\dbinom{b_e}{i}$。

再考虑 $m$ 为奇数的情况。我们考虑先按照偶数的做法求出 $m-1$ 的答案再进行调整。

考虑怎么求这个变化量。相当于要求出有多少个合法点集 $S$，满足 $S$ 中距离最远的两个点的距离恰好为 $m$。

可以发现，对于这种 $S$ 一定恰好存在一条边 $e$ 满足 $\forall x\in S,dis(x,e)\le\dfrac{m-1}{2}$。

依然考虑枚举 $e$，但这时多出了一个限制要求在 $e$ 的两侧各选了一个与它距离恰好为 $\dfrac{m-1}{2}$ 的点。可以通过容斥解决，转化为 $O(1)$ 个组合数的带权和。

现在我们求出了一个序列 $f$，答案即为 $ans_i=\sum\limits_{j=0}^nf_j\dbinom{j}{i}$。

根据 $f$ 推出 $ans$ 只需要一次卷积。而前面的各个值也可以利用点分治以及 dfs 在 $O(n\log n)$ 的时间内求出。因此总时间复杂度 $O(n\log n)$。

这个做法相比题解虽然讨论的时候较为麻烦，但是直接做就是 $O(n\log n)$。而题解里的数据结构部分直接做是 $O(n\log^2 n)$，我还并不知道怎么优化到 $O(n\log n)$。